「头文字一」的秘密—班佛定律 超中二物理宅的物理杂记 208

今天来谈一下「头文字一」，不是那个「秋名山最速传说」，会用「水沟盖过弯」的「头文字D」，别搞错了喔！

请各位读者数数你口袋里的钱，这个数字的第一位数是多少呢？比如说你身上有一万多、一千多、十块钱、一块钱，这个「第一位数」都是「1」，依此类推。如果对我们板上的读友们做个调查，各位觉得这个数字的「头文字」分别是1、2、3…一直到9 的出现机率应该是多少呢？答案后面再说，先来看一下历史。

科学与工程中经常需要做「对数」的计算，在一百多年前还没有电子计算机的时候，大家要算对数都要去查一本厚厚的「对数表」。对数表有点类似英文字典按字母顺序，是按照数字顺序编排的，例如不管是要查12345 或是0.012345，就是掀翻到「1」的部分（会在对数表的最前面），然后在「1」这一部底下又分为「11」、「12」、「13」…「19」这九个部分，找到「12」那部分后，里面会再分为「121」、「122」、「123」…「129」，依此类推，跟查字典一样，要找「the」的话，先翻到「t」开头，然后在「t」的部分找到「th」，再找「the」。

1881年时，有一位天文学家Simon Newcomb（附带一提，他也是个科幻小说家）在图书馆查对数表时，发现从书的侧面看过去，有一些页面特别黑，表示那几页经常被翻查，所以弄得比较脏，有些页面就比较干净。事实上，「1」的页面最脏，「2」次之，越大的数字越干净。Newcomb觉得有点意外，照直觉来想，来自各个领域的人所查的五花八门的数字，应该没有特别的偏好，会满平均的分布才对，为什么第一位数越小的页面，被翻查的次数就越多呢？

Newcomb对这个问题作了一些研究，也发表了一篇论文，提出「第一位数字」的分布公式：P(d) = log(1+1/d)，这里的P(d) 是从1 到9 的数字d 出现在第一位数的机率log 是「以10 为底的对数」，不过并没有引起太大的注意。

这个公式就这样沉睡了大约50年，到了1938年，另外一位天文学家Frank Benford因为一模一样的原因再度发现了这个定律，并且验证了更多的数据，比如说城镇人口、河流灌溉的流域、物质的比热、报纸头版上出现的第一个数字（日期除外）、物理常数…等等，发现都符合这个分布。这次Benford 发表的论文，获得科学界比较大的关注，这个「第一位数字定律」，也因此被命名为Benford’s law，其实说起来，应该要叫做Newcomb’s law 比较合理。

这个定律非常神秘，因为它几乎可以用在来自不同领域，各式各样的数字上。当然有一些数字是不适用的，比如说数字是作为「代码」而不是「计数」之用，例如身份证号码的第一位数只有1（男生）、2（女生）两种可能，当然就不符合Benford’s law。但是例如文章一开始的例子「你身上有多少钱」，或者是「你家门牌号码几号」，这样的数字如果收集得够多，就会符合Benford’s law。

其他像是「财务报表」上面的数字也会符合——这就很有用了，事实上也曾经有利用Benford’s law抓到逃税、作假帐的案例。由于Benford’s law并非「直觉上想当然耳」的分布，而人类心理上作假时，会有「避免极端值」的倾向，因为觉得数字太极端会产生「枪打出头鸟」的结果，所以在窜改数据时，首位数用了太多的4, 5, 6等中间数，违反了「头文字1」的法则，结果就被逮到了，现在有一些会计软体已经内建Benford’s law的检测，这也算是物理学家对社会科学的贡献吧！

当然，如果造假者知道这个定律，就会把假数据修正到符合Benford’s law了吧，所以念物理真的很重要！（这什么结论…）

这个定律也在2009年伊朗的总统大选中登场，由现任总统Mahmūd Ahmadinezhād 赢得连任的这场选举充满了争议，舞弊的指控满天飞，还引发了「绿色革命」的抗争，有高达300万人在德黑兰示威，后来有36人丧生，4000多人被捕。舞弊指控中一个证据就是有一位落选人Karoubi在各个选区的得票数分布，头文字是7的比例异常的高，违反了Benford’s law。最后的结果呢？只证明了科学无法解决政治问题，Mahmūd Ahmadinezhād 还是在国内争议与国际谴责中当到2013年卸任。

最近的新闻（是什么新闻不能说，怕被关站）开始有一些关于Benford’s law的报导了，在此帮看不懂的网友们服务一下啰！